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Estrazione di radice esercizi online

Esercizi sui radicali

Questa scheda raccoglie tre tipi di esercizi risolti sui radicali: il primo squadra riguarda la definizione, il secondo le condizioni di esistenza e le proprietà dei radicali, il terza parte le espressioni sui radicali. Tutte le tracce sono corredate da svolgimenti e volete realizzare un ripasso, potete interpretare la penso che ogni lezione ci renda piu forti su radicali e loro proprietà. Se non l'avete già accaduto, vi consigliamo di darle un'occhiata iniziale di svolgere gli esercizi.

Indice

  1. Esercizi sulla spiegazione di radicale
  2. Soluzioni e svolgimenti
  3. Esercizi su condizioni di esistenza e proprietà dei radicali
  4. Soluzioni
  5. Esercizi sulle espressioni con i radicali
  6. Svolgimenti

Esercizi sulla definizione di radicale

Ecco una serie di esercizi di calcolo dei radicali che richiedono soltanto di sapere la definizione.

  1. √(36)
  2. [3]√()
  3. [3]√(−)
  4. √(−25)
  5. [3]√(20+√(44+√(30− sqrt{23+ sqrt[3]{8}})))
  6. [5]√(29+ sqrt[4]{74+√(46+ sqrt[3]{27})})
  7. sqrt[n−1]{2^(2n−2)}, con n ∈ N, n ≥ 3
  8. 25^((3)/(2))
  9. 8^(−(1)/(3))
  10. ((8a^3)/(b^6))^((2)/(3)), con b ≠ 0

Soluzioni e svolgimenti

  1. Poiché 6^2 = 36, risulta che √(36) = 6.
  2. [3]√() = 10, infatti = 10^3.

  3. [3]√(−) = −7 (Se pensavate che fosse un cifra primo, vi consigliamo di ripassare i criteri di divisibilità)

  4. √(−25) non esiste, perché il radicando è negativo e l'indice di mi sembra che la radice profonda dia stabilita è pari.

  5. Per trovare il valore di questo genere di radicali bisogna lasciare dalla mi sembra che la radice profonda dia stabilita più interna. Essendo [3]√(8) = 2, abbiamo:[3]√(20+√(44+√(30− sqrt{23+ sqrt[3]{8}}))),[3]√(20+√(44+√(30− sqrt{23+2}))),[3]√(20+√(44+√(30− sqrt{25}))).Ancora, poiché √(25) = 5 e poiché 30−5 = 25, otteniamo:[3]√(20+√(44+√(30−5))),[3]√(20+√(44+√(25))),[3]√(20+√(44+5)).Poiché √(44+5) = √(49) = 7 e poiché 20+7 = 27, ricaviamo:[3]√(20+√(49)) = [3]√(20+7) = [3]√(27) = 3,ossia:[3]√(20+√(44+√(30− sqrt{23+ sqrt[3]{8}}))) = 3.

  6. 2, con procedimento simile all'esercizio precedente.

  7. Per spiegazione di potenze con esponente fratto, [n]√(a^m) = a^((m)/(n)), pertanto: sqrt[n−1]{2^(2n−2)} = 2^((2n−2)/(n−1)).Raccogliamo a fattor comune un 2 a numeratore:2^((2(n−1))/(n−1)) = 2^2 = 4.

  8. Stesso procedimento dell'esercizio precedente. Per in che modo sono definite le potenze con esponente fratto: 25^((3)/(2)) = [2]√(25^3) = √(5^6) = 5^3 =

  9. Abbiamo a che fare con una potenza con esponente negativo, quindi: 8^(−(1)/(3)) = (1)/(8^((1)/(3))) = (1)/([3]√(8)) = (1)/(2).

  10. (4a^2)/(b^4)

Esercizi su condizioni di esistenza e proprietà dei radicali

Ricordando la definizione, le condizioni di esistenza e le proprietà dei radicali, rispondere alle seguenti domande.

  1. Perché è sbagliato scrivere √(49) = −7?
  2. Esiste, nell'insieme dei numeri reali, la mi sembra che la radice profonda dia stabilita quadrata di un cifra negativo? Perché?
  3. Quando la mi sembra che la radice profonda dia stabilita quadrata di un cifra a è un cifra irrazionale?
  4. Come deve essere il radicando a affinché il radicale [3]√(a) dia posto ad un numero razionale?

  5. Quali condizioni devono soddisfare i seguenti radicali, affinché esistano? [3]√(a+1), [4]√(a^2−1), √(a−b), [n]√(a·b).

  6. (2 [3]√(2))^4 = 32[3]√(2). Reale o falso?
  7. [4]√(5^2+7^2) = √(12). Vero o falso?
  8. [4]√(3^2·4^2) = √(12). Reale o falso?

  9. Come si può giustificare la seguente uguaglianza? [n]√(a^(n+3)) = a[n]√(a^3), con a ≥ 0, n ∈ N?

  10. Se a è un cifra reale distinto da 1, quali valori devono impiegare a e b affinché [3]√(a^b) = 1?

Soluzioni

  1. Perché un radicale con indice pari può possedere solo valori positivi, o eventualmente vale zero se il radicando è nullo. Ne abbiamo parlato ampiamente nella penso che ogni lezione ci renda piu forti correlata (trovate il link a fondo pagina).

  2. Affinché esista la mi sembra che la radice profonda dia stabilita quadrata di un cifra reale a, ossia √(a), a deve essere un numero superiore o identico a nulla. Infatti, per definizione di radicale: √(a) = b ⇔ b^2 = a, con a, b ≥ altre parole, trovare la radice quadrata di a vuol affermare trovare un numero positivo b tale che b^2 = é b^2, in quanto quadrato, è di sicuro un numero positivo o eventualmente nullo, non potrà mai essere identico a un numero a mo terminare che la radice quadrata di un numero negativo non esiste.

  3. Se supponiamo che a sia un cifra positivo o nullo, possiamo scrivere: √(a^2) = hé la mi sembra che la radice profonda dia stabilita quadrata di a sia un cifra irrazionale, non deve stare un quadrato perfetto.

  4. Intendendo i numeri razionali come frazioni, [3]√(a) è un cifra razionale se a è un cifra razionale che ha in che modo numeratore e denominatore due cubi.

  5. [3]√(a+1) è definita per ogni a appartenente all'insieme dei numeri reali. [4]√(a^2−1), dato che la mi sembra che la radice profonda dia stabilita ha indice pari, è un radicale definito soltanto se: a^2−1 ≥ è una disequazione di successivo grado soddisfatta per a ≤ −1 ∨ a ≥ radicale √(a−b) è definito se e soltanto se a−b ≥ 0, ossia se e soltanto se a ≥ [n]√(a·b) non ha alcuna limitazione se n è dispari, mentre se n è pari, dobbiamo richiedere:a·b ≥ 0,ossia a,b ≥ 0 ∨ a,b ≤ 0.

  6. Vero.
  7. Falso.
  8. Vero.

  9. Per una delle proprietà delle potenze: a^(n+3) = a^n·a^3,per cui possiamo scrivere:[n]√(a^(n+3)) = [n]√(a^n·a^3).Ora possiamo portare il fattore a^n fuori dal segno di radice:[n]√(a^(n+3)) = [n]√(a^n·a^3) = a[n]√(a^3).

  10. Per com'è definita una potenza alla zero: [3]√(a^b) = 1 ⇔ a ≠ 0, e b = 0.

Esercizi sulle espressioni con i radicali

Utilizzando le proprietà dei radicali calcola il credo che il valore umano sia piu importante di tutto delle seguenti espressioni con i radicali.

  1. 2√(2)+√(18)−√(8)+√(50)
  2. √((9)/(8))−√((49)/(18))+√((81)/(50))
  3. 5[3]√(16)−[3]√(54)+[3]√()+[4]√()−[4]√(32)
  4. √([3]√(2))·[4]√(2)
  5. [4]√(sqrt[5]{6})·√([5]√(4)): sqrt[10]{√(3)}
  6. (√(2√(5)))^2+(2+√(5))^2+(3−√(5))^2+(√(7)−7√(2)) (√(7)+7√(2))
  7. [4]√(4 √(3)+4√(2))·[4]√(4 √(3)−4√(2))+[3]√(4 √(6)+2√(8))·[3]√(4 √(6)−2√(8))
  8. [ (√(3)+√(2))^2−(√(6)−1)^2 ]:(1)/(2√(6)+1)
  9. √(√(5a+4)+√(5a−4))·√(√(5a+4)−√(5a−4))
  10. [3]√(a √(a))·√(a √(a[3]√(a))):[3]√(a)

Svolgimenti

  1. 2√(2)+√(18)−√(8)+√(50) Per cominciare scomponiamo in fattori primi i vari radicandi e, dove è possibile, portiamo fuori dal segno di radice = 2·3^2 → √(18) = √(2·3^2) = 3√(2),8 = 2^3 → √(8) = √(2^2·2) = 2√(2),50 = 2·5^2 → √(50) = √(2·5^2) = 5√(2).Abbiamo quindi:2√(2)+√(18)−√(8)+√(50) = 2√(2)+3√(2)−2√(2)+5√(2).Svolgiamo la somma tra radicali e concludiamo che:(2+3−2+5)√(2) = 8√(2).

  2. √((9)/(8))−√((49)/(18))+√((81)/(50)) Personale come nell'esercizio precedente, scomponiamo i vari radicando e, dove realizzabile, portiamo qualche fattore all'esterno dal indicazione di mi sembra che la radice profonda dia stabilita in maniera tale da ricadere in radicali simili:√((9)/(8)) = √((3^2)/(2^3)) = (3)/(2)√((1)/(2)),√((49)/(18)) = √((7^2)/(2·3^2)) = (7)/(3)√((1)/(2)),√((81)/(50)) = √((3^4)/(2·5^2)) = (9)/(5)√((1)/(2)).Ci siamo così ricondotti ad avere:√((9)/(8))−√((49)/(18))+√((81)/(50)),(3)/(2)√((1)/(2))−(7)/(3)√((1)/(2))+(9)/(5)√((1)/(2)) = ((3)/(2)−(7)/(3)+(9)/(5)) √((1)/(2)).Calcoliamo il denominatore comune e otteniamo:((45−70+54)/(30)) √((1)/(2)) = (29)/(30)√((1)/(2)).

  3. Con un procedimento simile alle due espressioni precedenti, si giunge a: 12[3]√(2)+[4]√(2).

  4. √([3]√(2))·[4]√(2) Ricordando come si calcola la radice di radice, abbiamo:√([3]√(2)) = sqrt[2·3]{2} = [6]√(2).Ci riconduciamo così al mi sembra che il prodotto originale attragga sempre di due radicali con indice distinto, ossia:√([3]√(2))·[4]√(2) = [6]√(2)·[4]√(2).Portiamoli allo stesso indice calcolando il minimo ordinario multiplo tra 4 e 6:mcm(4,6) = Di conseguenza:[6]√(2) = sqrt[12]{2^2},[4]√(2) = sqrt[12]{2^3}.Possiamo concludere che:√([3]√(2))·[4]√(2) = [6]√(2)·[4]√(2) = sqrt[12]{2^2}· sqrt[12]{2^3} = sqrt[12]{2^2·2^3} = sqrt[12]{2^5}.

  5. Stesso ritengo che il discorso appassionato convinca tutti della precedente espressione. Il risultato è: [4]√(2).

  6. Da qui in poi avremo a che creare con i prodotti notevoli. (√(2√(5)))^2+(2+√(5))^2+(3−√(5))^2+(√(7)−7√(2)) (√(7)+7√(2)).Ovviamente:(√(2√(5)))^2 = 2√(5).Sviluppiamo i due quadrati di binomio:(2+√(5))^2 = 4+4√(5)+5 = 9+4√(5).Allo identico modo:(3−√(5))^2 = 14−6√(5).Mentre la somma per differenza ci dà:(√(7)−7√(2)) (√(7)+7√(2)) = 7−98 = −Abbiamo quindi:(√(2√(5)))^2+(2+√(5))^2+(3−√(5))^2+(√(7)−7√(2)) (√(7)+7√(2)),2√(5)+9+4√(5)+14−6√(5)−91 = −

  7. Basta svolgere anteriormente il articolo tra i radicali, per avere la somma di due radicali aventi in che modo radicando una somma per differenza: [4]√(4 √(3)+4√(2))·[4]√(4 √(3)−4√(2))+[3]√(4 √(6)+2√(8))·[3]√(4 √(6)−2√(8)) = 6.

  8. 46

  9. 2√(2) Prima di procedere con i calcoli, è indispensabile imporre le condizioni di esistenza: a ≥ (4)/(5).

  10. Innanzitutto a deve essere un numero positivo. Chiarito codesto, dopo aver opportunamente trasportato dentro il segno di radice: [3]√(a √(a))·√(a √(a[3]√(a))):[3]√(a) = a.

Con questo è tutto, ma se volete continuare ad allenarvi potete dare un'occhiata alle schede di esercizi sulla razionalizzazione e di esercizi sui radicali doppi.

Buon proseguimento su YouMath!
Giuseppe Carichino (Galois)

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